Question

已知f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)（a＞0且a≠1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）≥b恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先看函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱，若對稱，則由定義看f（-x）與f（x）的關(guān)系即可；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可作出判斷；
（3）當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）≥b恒成立，等價于f（x）min≥b，由（2）可知f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可求得f（x）_min．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，
又∵f（-x）=

a

a2-1

(a-x-ax)=-

a

a2-1

(ax-a-x)=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，證明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

[ax1-a-x1-ax2+a-x2]
=

a

a2-1

(ax1-ax2)(1+

1

ax1+x2

)，
當(dāng)a＞1時，a²-1＞0，ax1-ax2＜0，1+

1

ax1+x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時，a²-1＜0，ax1-ax2＞0，1+

1

ax1+x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是增函數(shù)；
∴當(dāng)a＞0，且a≠1時，f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)；
（3）由（2）知f（x）在R上單調(diào)遞增，∴f（x）在[-1，1]內(nèi)為增函數(shù)，
∴f（-1）≤f（x）≤f（1），則f（x）_min=f（-1）=

a

a2-1

(a-1-a)=

a

a2-1

•

1-a2

a

=-1，
∴要使f（x）≥b在[-1，1]上恒成立，只需b≤-1，
∴b的取值范圍是（-∞，-1]．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的判斷及其應(yīng)用，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生解決問題的能力，恒成立問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．