Question

已知a＞0且a≠1，f(x)=

a

a2-1

(ax-

1

ax

)．
（1）判斷f（x）的奇偶性并加以證明；
（2）判斷f（x）的單調性并用定義加以證明；
（3）當f（x）的定義域為（-1，1）時，解關于m的不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義和冪運算的性質即可證明函數(shù)f（x）為定義域上的奇函數(shù)；（2）先利用指數(shù)函數(shù)的單調性判斷函數(shù)為R上的單調增函數(shù)，再利用函數(shù)單調性的定義，通過設?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，即可證明函數(shù)的單調性；（3）利用函數(shù)的奇偶性將不等式轉化為f（1-m）＜f（m²-1），再利用函數(shù)的單調性和定義域，將不等式轉化為整式不等式組即可得不等式的解集

解答：解：（1）函數(shù)的定義域為R，關于原點對稱，
f(-x)=

a

a2-1

(a-x-

1

a-x

)=f(x)=

a

a2-1

(

1

ax

-ax)=-f（x）
∴函數(shù)f（x）為定義域上的奇函數(shù)
（2）此函數(shù)為R上的單調增函數(shù)
證明：設?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

[(-

1

ax1

+ax1)-(-

1

ax2

+ax2)]=

a

a2-1

[

1

ax2

-

1

ax1

+ax1-ax2]
=

a

a2-1

[(ax1-ax2)(1+

1

ax1+x2

)]
∵a＞1時，

a

a2-1

＞0，ax1-ax2＜0，1+

1

ax1+x2

＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0
0＜a＜1時，

a

a2-1

＜0，ax1-ax2＞0，1+

1

ax1+x2

＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）為R上的單調增函數(shù)
（3）f（1-m）+f（1-m²）＜0?f（1-m）＜-f（1-m²）?f（1-m）＜f（m²-1）（奇函數(shù)的性質）
∵函數(shù)f（x）為（-1，1）上的單調增函數(shù)
∴f（1-m）＜f（m²-1）?

-1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1 1-m＜m2-1

?

0＜m＜2 0＜m2＜2   m＞1或m＜-2

解得1＜m＜

2

點評：本題考查了奇函數(shù)的定義及其判斷方法，利用函數(shù)單調性的定義證明函數(shù)的單調性的方法，利用函數(shù)的單調性和奇偶性解不等式的方法