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設A、B、C為銳角三角形的三個內角,
n
=(sinB-sinC+sinA,sinB)
,
m
=(sinB-sinC-sinA,sinC)
,且滿足
m
n

(Ⅰ)求角A的大。
(Ⅱ)求函數y=sin2(
A+C
2
-
π
3
)+cos2(B-
π
3
)
的最大值.
分析:(Ⅰ)由
m
n
.可知
m
n
=0可得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC利用正弦定理,得到了三邊的關系,進而同理余弦定理求出cosA,進而求出A.
(Ⅱ)對原式進行化簡,得到關于cos(B-
π
3
)的函數,在利用B的范圍和余弦函數的單調性求出函數的最大值.
解答:解:(Ⅰ)依題意,
m
n
=(sinB-sinC+sinA)(sinB-sinC-sinA)+sinBsinC=0

即sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC
由正弦定理得,b2+c2-a2=bc,
由余弦定理得,cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2

∴A=
π
3

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,B+C=
3
,∵三角形ABC為銳角三角形,∴
π
6
<B<
π
2

y=sin2(
A+C
2
-
π
3
)+cos2(B-
π
3
)
=sin2(
π
6
-
B
2
)+cos2(B-
π
3
)

=
1
2
[1-cos(
π
3
-B)]+2cos2(B-
π
3
)-1
=2cos2(B-
π
3
)-
1
2
cos(B-
π
3
)-
1
2
=2[cos(B-
π
3
)-
1
8
]2-
17
32

B-
π
3
∈(-
π
6
,
π
6
)
,∴cos(B-
π
3
)
(
3
2
,1]

∴當B=
π
3
時,y取最大值1.
點評:本題主要考查了余弦定理的應用.向量積是解決兩邊及夾角的常用方法,應注意靈活應用.
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