Question

設(shè)△ABC中的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別a、b、c，且cosB=

4

5

，b=2
（1）當(dāng)a=

5

3

時(shí)，求角A的度數(shù)
（2）設(shè)AC邊的中線為BM，求BM長度的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由cosB的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，再由a，b的值，利用正弦定理求出sinA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）設(shè)BM=m，∠AMB=α，在三角形ABM與三角形BCM中，分別利用余弦定理列出關(guān)系式，根據(jù)鄰補(bǔ)角定義及誘導(dǎo)公式變形，消去α得到關(guān)系式，再利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用基本不等式求出BM的最大值．

解答： 解：（1）∵cosB=

4

5

＞0，
∴sinB=

1-cos2B

=

3

5

＞

1

2

=sinA，
∵A＜B，∴A=30°；
（2）設(shè)BM=m，∠AMB=α，
由余弦定理得：c²=m²+1-2m×cosα；a²=m²+1+mcosα，
整理得：2m²=a²+c²-2，
∵b²=a²+c²-2accosB，
∴a²+c²-

8

5

ac=4，即2ac=

5

4

（a²+c²-4），
∵2ac≤a²+c²，
∴

5

4

（a²+c²-4）≤a²+c²，
整理得：a²+c²≤20，即2m²=a²+c²-2≤18，
解得：0＜m≤3，
則BM的最大值為3．

點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，基本不等式的運(yùn)用，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．