設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心，A(-1,0)、B(1，0),且=λ (λ∈R且λ≠0).

(1)求點C的軌跡E的方程；

(2)是否存在直線l，使l過點(0，1)并與曲線E交于P、Q兩點，且滿足·=-2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

解：(1)設(shè)C(x,y)，其中xy≠0.由=λ(λ∈R且λ≠0),知MG∥AB.設(shè)G(a,b),則M(0，b),∴x=3a,y=3b①.

∵M是不等邊△ABC的外心，∴|MA|=|MC|,∴=②,

    將①代入②化簡整理得x2+=1.所以點C的軌跡E的方程為x2+=1(xy≠0).

(2)假設(shè)存在直線l滿足條件，設(shè)直線l方程為y=kx+1,

    由消去y得(3+k2)x2+2kx-2=0.

∵直線l與曲線E交于P、Q兩點，∴Δ=4k2+8(3+k2)＞0.

    設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，

    則

∵·=-2,∴x1x2+y1y2=-2,

    即x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=-2,

(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+3=0,(1+k2)(-)+k(-)+3=0,解得k2=7,k=±.

    故存在直線l:y=±+1,使得·=-2.


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設(shè)點C的軌跡為曲線E，是否存在直線l，使l過點（0.1）并與曲線E交于P、Q兩點，且滿足
OP
•
OQ
=-2？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．
注：三角形的重心的概念和性質(zhì)如下：設(shè)△ABC的重心，且有
GD
GC
=
GE
GA
=
GF
GB
=
1
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設(shè)點C的軌跡為曲線E，是否存在直線l，使l過點（0.1）并與曲線E交于P、Q兩點，且滿足數(shù)學公式？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．
注：三角形的重心的概念和性質(zhì)如下：設(shè)△ABC的重心，且有數(shù)學公式．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設(shè)點C的軌跡為曲線E，是否存在直線l，使l過點（0.1）并與曲線E交于P、Q兩點，且滿足
OP
•
OQ
=-2？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．
注：三角形的重心的概念和性質(zhì)如下：設(shè)△ABC的重心，且有
GD
GC
=
GE
GA
=
GF
GB
=
1
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心，A(-1，0)、B(1，0)，且．

(1)求點C的軌跡E的方程；

(2)是否存在直線z，使Z過點(0，1)并與曲線E交于P、Q兩點，且滿足OP⊥OQ?若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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