設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足．

(Ⅰ)若a2＝，求a3，a4，并猜想a2008的值(不需證明)；

(Ⅱ)若對a≥2恒成立，求a2的值．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)同理科22(Ⅰ)

　　(Ⅰ)因

　　

　　

　　由此有，故猜想的通項(xiàng)為

　　

　　從而．

　　(Ⅱ)令．則，故只需求x2的值．

　　設(shè)Sn表示xn的前n項(xiàng)和，則a1a2…an＝，由≤a1a2…an＜4得

　　．

　　因上式對n＝2成立，可得，又由a1＝2，得x1＝1，故．

　　由于a1＝2，(n∈N*)，得(n∈N*)，即

　　，

　　因此數(shù)列{xn+1＋2xn}是首項(xiàng)為x2＋2，公比為的等比數(shù)列，故

　　xn+1＋2xn＝(x2＋2)(n∈N*)．

　　將上式對n求和得

　　Sn+1－x1＋2Sn＝(x2＋2)(1＋＋…＋)＝(x2＋2)(2－)(n≥2)．

　　因Sn＜2，Sn+1＜2(n≥2)且x1＝1，故

　　(x2＋2)(2－)＜5(n≥2)．

　　因此(n≥2)．

　　下證x2≤，若不然，假設(shè)x2＞，則由上式知，不等式

　　2n－1＜

　　對n≥2恒成立，但這是不可能的，因此．

　　又，故，所以．


提示：

本題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列以及不等式等基本知識(shí)，考查學(xué)生的探索、化歸的數(shù)學(xué)思想與推理能力．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足5an，5bn，5an+1成等比數(shù)列，lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差數(shù)列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通項(xiàng)an、bn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知2a2=a1+a3，數(shù)列{
Sn
}是公差為d的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（用n，d表示）；
（2）設(shè)c為實(shí)數(shù)，對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求證：c的最大值為
9
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知2a2=a1+a3，數(shù)列{
Sn
}是公差為d的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（用n，d表示）；
（Ⅱ）設(shè)c為實(shí)數(shù)，對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求c的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣東）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足4Sn=
a
2
n+1
-4n-1，n∈N*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列．
（1）證明：a2=
4a1+5
；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對一切正整數(shù)n，有
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
＜
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對于任意的正整數(shù)n都有等式Sn=
1
4
a
2
n
+
1
2
an（n∈N*）成立．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令數(shù)列bn=|c|
an
2n
，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，若Tn＞8對n∈N*恒成立，求c的取值范圍．

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