Question

設a+2b=3，b＞0，則

1

2|a|

+

|a|

3b

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：導數(shù)的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：由a+2b=3，b＞0，可得a=3-2b≠0．于是得到

1

2|a|

+

|a|

3b

=

1

2|3-2b|

+

|3-2b|

3b

=f（b）．通過對a分類討論，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值即可．

解答： 解：∵a+2b=3，b＞0，
∴a=3-2b≠0
∴

1

2|a|

+

|a|

3b

=

1

2|3-2b|

+

|3-2b|

3b

=f（b）．
當b＞

3

2

時，f（b）=

1

2(2b-3)

+

2b-3

3b

，則f′（b）=

-1

(2b-3)2

+

1

b2

=

3(b-1)(b-3)

(2b2-3b)2

，
當

3

2

＜b＜3時，f′（b）＜0，函數(shù)f（b）單調遞減；當b＞3時，f′（b）＞0，函數(shù)f（b）的單調遞增．
又f′（3）=0，∴當b=3時，函數(shù)f（b）取得極小值，f（3）=

1

2

．
當0＜b＜

3

2

時，f（b）=

1

2(3-2b)

+

3-2b

3b

，
則f′（b）=-

3(b-1)(b-3)

(2b2-3b)2

，此時當b=1時，f（b）取得極小值，f（1）=

5

6

．
綜上可知：當b=3時，函數(shù)f（b）取得最小值，f（3）=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、分類討論，屬于中檔題．