Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=﹣1，a2=1，且 ．
（1）求a5+a6的值；
（2）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項的和，求Sn；
（3）設(shè)bn=a2n﹣1+a2n ， 是否存正整數(shù)i，j，k（i＜j＜k），使得bi ， bj ， bk成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的i，j，k；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，當n為奇數(shù)時， ；當n為偶數(shù)時， ．

又a1=﹣1，a2=1，

∴ ，

即a5+a6=2

（2）解：①當n=2k時，Sn=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k）

= = = ．

②當n=2k﹣1時，Sn=S2k﹣a2k=

= = ．

∴

（3）解：由（1），得 （僅b1=0且{bn}遞增）．

∵k＞j，且k，j∈Z，∴k≥j+1．

①當k≥j+2時，bk≥bj+2，若bi，bj，bk成等差數(shù)列，

則 = ，

此與bn≥0矛盾．故此時不存在這樣的等差數(shù)列．

②當k=j+1時，bk=bj+1，若bi，bj，bk成等差數(shù)列，

則 = ，

又∵i＜j，且i，j∈Z，∴i≤j﹣1．

若i≤j﹣2，則bi≤bj﹣2，得 ，

得 ≤0，矛盾，∴i=j﹣1．

從而2bj=bj﹣1+bj+1，得 ，

化簡，得3j﹣2=1，解得j=2．

從而，滿足條件的i，j，k只有唯一一組解，即i=1，j=2，k=3

【解析】(1)對n分情況得出數(shù)列的通項公式，進而求出結(jié)果。（2）繼續(xù)對n分情況討論，得到S n。（3）首先證明{bn}遞增，根據(jù)題意分情況當k≥j+2時，假設(shè)成等差數(shù)列成立，得出與bn≥0矛盾的結(jié)論，故這種情況不成立。再討論當k=j+1時，假設(shè)成等差數(shù)列成立，根據(jù)已知可推導出只有唯一一組解滿足要求。
【考點精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式的相關(guān)知識點，需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能正確解答此題．