Question

曲線C的方程為

x=2pt2 y=2pt

（p＞0，t為參數(shù)），當(dāng)t∈[-1，2]時(shí)，曲線C的端點(diǎn)為A，B，設(shè)F是曲線C的焦點(diǎn)，且S_△AFB=14，求P的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：直線與圓

分析：把曲線C的方程化為普通方程，求得A、B的坐標(biāo)，可得|AB|=6

2

p，AB的方程．求出曲線C的焦點(diǎn)F（

p

2

，0）到AB的距離為d．再根據(jù) S_△AFB=14=

1

2

|AB|•d，解得p的值．

解答： 解：把曲線C的方程

x=2pt2 y=2pt

（p＞0，t為參數(shù)），化為普通方程為 y²=2px．
當(dāng)t∈[-1，2]時(shí)，曲線C的端點(diǎn)為A，B，可得A（2p，-2p）、B（8p，4p），
∴|AB|=

(8p-2p)2+(4p+2p)2

=6

2

p，
AB的方程為

y+2p

4p+2p

=

x-2p

8p-2p

，即 x-y-4p=0．
再根據(jù)曲線C的焦點(diǎn)F（

p

2

，0）到AB的距離為d=

| p 2 -4p|

2

=

7p

2 2

．
再根據(jù) S_△AFB=14=

1

2

|AB|•d=

1

2

×6

2

p×

7p

2 2

=14，解得 p=

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．