Question

各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，滿足a₁=1，a_n+1²-a_n²=2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明++…+≤對一切n∈N⁺恒成立．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a_n+1²-a_n²=2，∴a_n²為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n²=1+（n-1）×2=2n-1，又a_n＞0，則
（Ⅱ）只需證：．
1當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，所以命題成立．
當(dāng)n=2時(shí)，左邊＜右邊，所以命題成立
②假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即，
當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=．

=
=．命題成立
由①②可知，++…+≤對一切n∈N⁺恒成立．
分析：（Ⅰ）題意知a_n²為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，由此可知
（Ⅱ）只需證：．由數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意數(shù)學(xué)歸納法的證明技巧．