Question

直線l經過點P（3，2）且與x軸正半軸及y軸正半軸分別交于點A、B．
（1）當△AOB面積最小時，求直線l的方程．
（2）已知直線m的方程為5x+y-1=0，在（1）的條件下，求直線l到直線 m的角θ的大小．

Answer 1

分析：（1）設出直線l的點斜式方程，寫出面積的表達式，再由不等式得最值，即可得出直線l的方程．
（2）由（1）知直線l的斜率k=-

2

3

，直線m的方程為5x+y-1=0的斜率k′=-5，利用到角公式即可求出直線l到直線 m的角θ的大�。�

解答：解：（1）設直線l的方程y-2=k（x-3），∴A(3-

2

k

，0)，B（0，2-3k）．
設△AOB面積為S，∴S=

1

2

ab=

1

2

(3-

2

k

)(2-3k)=

1

2

[12+(-9k-

4

k

)]．（4分）
∵直線l與x、y軸正半軸相交，∴k＜0．∴-9k＞0，-

4

k

＞0，
∴-9k-

4

k

≥2

(-9k)(- 4 k )

=2

36

=12（6分）
當且僅當-9k=-

4

k

，即k=-

2

3

時取“=”，即S有最小值，
∴所求直線方程為y-2=-

2

3

（x-3），即2x+3y-12=0  （8分）
（2）∵直線m：5x+y-1=0的斜率k′=-5，由（1）知直線l的斜率k=-

2

3

∴tanθ=

k′-k

1+k′k

=

-5-(- 2 3 )

1+(-5)•(- 2 3 )

=-1，又θ∈（0，π）故θ=

3

4

π  （12分）
注：第（1）問“截距式”及求最值的其它方法請參照給分．

點評：本題考查直線的一般式方程、直線方程的點斜式，利用基本不等式求面積的最小值或截距和的最小值，注意等號成立的條件需檢驗．