【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=x2(x﹣a).
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間 內(nèi)是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值h(a).

【答案】
(1)解:∵f(x)=x3﹣ax2,

∴f'(x)=3x2﹣2ax.

∵函數(shù)f(x)在區(qū)間 內(nèi)是減函數(shù),

∴f'(x)=3x2﹣2ax≤0在 上恒成立.

上恒成立,

∴a≥1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+∞)


(2)解:∵ ,

令f'(x)=0得

①若a≤0,則當(dāng)1≤x≤2時(shí),f'(x)>0,

所以f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),

所以h(a)=f(1)=1﹣a.

②若 ,即

則當(dāng)1≤x≤2時(shí),f'(x)>0,

所以f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),

所以h(a)=f(1)=1﹣a

③若 ,即 ,

則當(dāng) 時(shí),f'(x)<0;

當(dāng) 時(shí),f'(x)>0.

∴f(x)在 上是減函數(shù),在 上是增函數(shù).

④若a≥3,即 ,

則當(dāng)1<x<2時(shí),f'(x)<0,

所以f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù).

所以h(a)=f(2)=8﹣4a.

綜上


【解析】(1)由f(x)=x3﹣ax2 , 知f'(x)=3x2﹣2ax.由函數(shù)f(x)在區(qū)間 內(nèi)是減函數(shù),知f'(x)=3x2﹣2ax≤0在 上恒成立.由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.(2)由 ,令f'(x)=0得 .若a≤0,則當(dāng)1≤x≤2時(shí),f'(x)>0,所以h(a)=f(1)=1﹣a;若 ,當(dāng)1≤x≤2時(shí),f'(x)>0,所以h(a=f(1)=1﹣a;若 , 時(shí),f'(x)<0;當(dāng) 時(shí),f'(x)>0.所以 若a≥3,當(dāng)1<x<2時(shí),f'(x)<0,所以h(a)=f(2)=8﹣4a.由此能得到結(jié)果.
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.

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