Question

橢圓的焦點在x軸上，離心率為

3

2

，且橢圓被直線y=x+2截得的線段長為

16 2

5

，求橢圓的標準方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：橢圓的焦點在x軸上，可設(shè)橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由于橢圓的離心率為

3

2

，可得

c

a

=

3

2

，
由于a²=b²+c²．可得a²=4b²．橢圓的方程化為x²+4y²=4b²．與直線的方程聯(lián)立，利用弦長公式即可得出．

解答： 解：∵橢圓的焦點在x軸上，
∴可設(shè)橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵橢圓的離心率為

3

2

，∴

c

a

=

3

2

，
∴a²=b²+c²=b2+

3

4

a2，化為a²=4b²．
∴橢圓的方程化為x²+4y²=4b²．
設(shè)直線與橢圓的交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=x+2 x2+4y2=4b2

化為5x²+16x+16-4b²=0，
△＞0化為b2＞

4

5

．
∴x₁+x₂=-

16

5

，x₁x₂=

16-4b2

5

．
∴|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2( 162 25 - 64-16b2 5 )

=

16 2

5

，
化為b²=4．滿足△＞0．
∴橢圓的標準方程為：

x2

16

+

y2

4

=1．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．