Question

在RT△ABC中，直角邊AC=3，BC=4，點D是斜邊AB上的動點，DE⊥AC交AC于點E，DF⊥BC交BC于點F，設CE=x．
（Ⅰ）求四邊形FDEC的面積函數(shù)f（x）；
（Ⅱ）當x為何值時，f（x）最大？并求出f（x）的最大值．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）根據(jù)圖形得出

AE

AC

=

EF

BC

，求解得四邊形FDEC的面積函數(shù)f（x）=x（4-

4x

3

），0＜x＜3，
（2）利用基本不等式x（4-

4x

3

）=12×

x

3

×（1-

x

3

）≤12×

1

4

=3，0＜x＜3，求解即可．

解答： 解：（1）設設CE=x．則AE=3-x，
∵

AE

AC

=

EF

BC

，
∴EF=4-

4x

3

，0＜x＜3，
∴四邊形FDEC的面積函數(shù)f（x）=x（4-

4x

3

），0＜x＜3，
（2）∵f（x）=x（4-

4x

3

）=12×

x

3

×（1-

x

3

）≤12×

1

4

=3，0＜x＜3，
∴當

x

3

=1-

x

3

時，即x=

3

2

時，等號成立．
∴當x=

3

2

時，f（x）最大=3．

點評：本題考查了函數(shù)在實際問題中的應用，利用基本不等式求解最值問題，屬于中檔題．