Question

選修4-5《不等式選講》．
已知a+b=1，對?a，b∈（0，+∞），使+≥|2x-1|-|x+1|恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：利用基本不等式求得 +的最小值等于9，由題意可得|2x-1|-|x+1|≤9，分x≤-1時，-1＜x＜ 時，x≥ 時，
三種情況分別求出不等式的解集，再取并集，即得結(jié)果．
解答：解：∵a+b=1，且 a＞0，b＞0，∴+=（a+b）（ + ）=5++≥5+2=9，
故 + 的最小值等于9． 要使+≥|2x-1|-|x+1|恒成立，所以，|2x-1|-|x+1|≤9．
當 x≤-1時，2-x≤9，∴-7≤x≤-1．  當-1＜x＜ 時，-3x≤9，∴-1＜x＜．
當x≥ 時，x-2≤9，∴≤ x≤11．
綜上，-7≤x≤11．
點評：本題考查基本不等式的應(yīng)用，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想．
關(guān)鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來解．