Question

以F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）為焦點(diǎn)的橢圓E：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（，），斜率為1的直線l與E相交于A、B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（-3，2）
（1）求E的方程；
（2）求l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，可知c=2，利用橢圓的定義可求出a的值，再根據(jù)b²=a²-c²求出b的值，即可求出橢圓E的方程；
（2）設(shè)出直線l的方程和點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立方程，消去y，根據(jù)等腰△PAB，求出直線l方程．
解答：解：（1）由已知得，c=2，
又2a=MF₁+MF₂=4
解得a=2 ，又b²=a²-c²=4，
所以橢圓E的方程為 ．
（2）設(shè)直線l的方程為y=x+m，
由 得4x²+6mx+3m²-12=0．①
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x₁＜x₂），AB的中點(diǎn)為E（x，y），
則x==-，
y=x+m=，
因?yàn)锳B是等腰△PAB的底邊，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k==-1，
解得m=2．
故l的方程為：y=x+2．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查待定系數(shù)法求橢圓的方程和橢圓簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，同時(shí)也考查了學(xué)生觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．