Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1以F₁（-2，0）和F₂（2，0）為焦點(diǎn)，離心率e=

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過作斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，∠AOB=90°，求弦AB的長(zhǎng)；并求△AOB的面積．（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由設(shè)條件知

c=2 c a = 2 2

，由此能導(dǎo)出橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線方程為y=x+b，聯(lián)立方程組

y=x+m x2 8 + y2 4 =1

，整理，得3x²+4bx+2b²-8=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

4b

3

，x1x2=

2b2-8

3

，由∠AOB=90°，知x₁x₂+y₁y₂=0，從而解得b=±

4 3

3

．直線方程為y=x±

4 3

3

，再由弦長(zhǎng)公式|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

和點(diǎn)到直線的距離公式能夠求出弦長(zhǎng)AB和△AOB的面積．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)條件知

c=2 c a = 2 2

，
∴a²=8，b²=4，
∴橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）設(shè)直線方程為y=x+b，聯(lián)立方程組

y=x+m x2 8 + y2 4 =1

，
整理，得3x²+4bx+2b²-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

4b

3

，x1x2=

2b2-8

3

，
∵∠AOB=90°，∴OA²+OB²=AB²，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²，
∴2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0，
∴

4b2-16

3

-

4b2

3

+b2=0，解得b=±

4 3

3

．
∴直線方程為y=x±

4 3

3

．
x1+x2=±

16 3

9

，x1x2=

8

9

，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2( 768 81 - 288 81 )

=

8 15

9

．
∵O到直線y=x±

4 3

3

的距離為d=

|0-0± 4 3 3 |

2

=

2 6

3

，
∴△AOB的面積=

1

2

×

8 15

9

×

2 6

3

=

8 10

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．