Question

某同學參加3門課程的考試．假設該同學第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為

4

5

，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p，q（p＞q），且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立．記ξ為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為

ξ	0	1	2	3
p	6 125	a	d	24 125

（Ⅰ）求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；
（Ⅱ）求P，q的值；
（Ⅲ）求數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件“ξ=0”是對立的，所以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率為1-P（ξ=0）；
（II）根據(jù)P（ξ=0）與P（ξ=3）建立關于p和q的方程組，解之即可求出p和q的值；
（III）先求出a和d的值，然后根據(jù)Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2P（ξ=2）+3P（ξ=3）即可求出數(shù)學期望．

解答：解：事件A_i表示“該生第i門課程取得優(yōu)秀成績”，i=1，2，3，由題意知P(A1)=

4

5

，P（A₂）=p，P（A₃）=q
（I）由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件“ξ=0”是對立的，所以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是1-P(ξ=0)=1-

6

125

=

119

125

，
（II）由題意知P(ξ=0)=P(

.

A1

.

A2

.

A3

)=

1

5

(1-p)(1-q)=

6

125

P(ξ=3)=P(A1A2A3)=

4

5

pq=

24

125

整理得 pq=

6

25

，p+q=1
由p＞q，可得p=

3

5

，q=

2

5

．
（III）由題意知a=P(ξ=1)=P(A1

.

A2

.

A3

)+P(

.

A1

A2

.

A3

)+P(

.

A1

.

A2

A3)
=

4

5

(1-p)(1-q)+

1

5

p(1-q)+

1

5

(1-p)q=

37

125

d=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=

58

125

Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2P（ξ=2）+3P（ξ=3）=

9

5

故所求數(shù)學期望為

9

5

．

點評：本題主要考查了互斥事件與對立事件的概念，以及離散型隨機變量的期望，屬于中檔題．