Question

某同學參加3門課程的考試，假設該同學第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為

4

5

．第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率均為

2

3

，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立．
（1）求該生恰有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；
（2）求該生取得優(yōu)秀成績的課程門數(shù)X的期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立．該生恰有1門課程取得優(yōu)秀成績，包括三種情況，這三種情況是互斥的，根據(jù)互斥事件的概率和相互獨立事件同時發(fā)生的概率，得到結(jié)果．
（2）該生取得優(yōu)秀成績的課程門數(shù)X，由題意知X的可能取值是0，1，2，3，結(jié)合變量對應的事件和上一問解題的方法寫出概率，寫出分布列和期望．

解答：解：用A_i表示“該生第i門課程取得優(yōu)秀成績”，i=1，2，3
由題意得P（A₁）=

4

5

，P(A2)=P(A3)=

2

3

．
（1）該生恰有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率為
P=P(A1

.

A2

.

A3

)+P(

.

A1

A2

.

A3

)+P(

.

A1

.

A2

A3)=

4

5

•

1

3

•

1

3

+

1

5

C

1 2

•

2

3

•

1

3

=

8

45

∴該生恰有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率為

8

45

．
（2）由題意知X=0，1，2，3
則P(X=0)=

1

5

•

1

3

•

1

3

=

1

45

，P(X=1)=

8

45

P(X=2)=

4

5

C

1 2

•

2

3

•

1

3

+

1

5

(

2

3

)2=

20

45

，P(X=3)=

4

5

•

2

3

•

2

3

=

16

45

∴E(X)=0×

1

45

+1×

8

45

+2×

20

45

+3×

16

45

=

32

15

．
∴該生取得優(yōu)秀成績的課程門數(shù)的期望為

32

15

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，是一個基礎題，解題的格式是不變的，只要注意運算即可．