Question

設(shè)函數(shù)f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，f(0)=

1

2

，數(shù)列{a_n}滿f(1)=n2an(n∈N*)，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n等于

n

n+1

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)題干條件求出a₁的值，然后根據(jù)f（1）=n²•a_n，得到a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²•a_n，最后根據(jù)當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²•a_n-（n-1）²•a_n-1求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)

解答：解：∵函數(shù)f（x）=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，
∴f（0）=a₁=

1

2

，f（1）=a₀+a₁+…+a_n
∵f（1）=n²•a_n，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²•a_n，
又∵a_n=S_n-S_n-1=n²•a_n-（n-1）²•a_n-1，
∴（n²-1）a_n=（n-1）²•a_n-1（n≥2），
則

an

an-1

=

n2-1

(n-1)2

=

n+1

n-1

利用疊乘可得，

a2

a1

•

a3

a2

•

a4

a3

…

an

an-1

=

1

3

×

2

4

×…×

n-2

n

×

n-1

n+1

，
∴

an

an-1

=

1

3

×

2

4

×…×

n-2

n

×

n-1

n+1

，
∴a_n=

1

n(n+1)

，
故答案為

1

n(n+1)

．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是由（n²-1）a_n=（n-1）²•a_n-1，利用疊乘法求解通項(xiàng)公式，此題難度一般．