Question

（1）求y=

x2+2

2x4+5x2+10

的最大值；
（2）若a＞0，b＞0，且a²+

b2

2

=1，求a

1+b2

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）變形為：y=

t

2t2-3t+8

=

1

2t+ 8 t -3

，t∈[2，+∞），運(yùn)用不等式求解．（2）變形為a²+

b2

2

+

1

2

=

3

2

，運(yùn)用不等式求解即可．

解答： 解：（1）y=

x2+2

2x4+5x2+10

，
設(shè)t=x²+2，x²=t-2，
∴函數(shù)變?yōu)椋簓=

t

2t2-3t+8

=

1

2t+ 8 t -3

，t∈[2，+∞），
m=2t+

8

t

-3，t∈[2，+∞），
根據(jù)單調(diào)性可判斷；2t+

8

t

-3≥5，
∴0＜

1

2t+ 8 t -3

≤

1

5

，
∴y=

x2+2

2x4+5x2+10

的最大值為

1

5

；
（2）∵a＞0，b＞0，且a²+

b2

2

=1，
∴a²+

b2

2

+

1

2

=

3

2

，
∴

3

2

≥2

a2( b2+1 2 )

，
a

1+b2

≤

3 2

4

，
故a

1+b2

的最大值為

3 2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用基本不等式求解函數(shù)的最值，屬于中檔題，注意恒等變形．