Question

函數(shù)f（x）=x³-3x-m在[0，2]上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

1. A.
   [-2，2]
2. B.
   [0，2]
3. C.
   [-2，0]
4. D.
   以上都不對(duì)

Answer 1

A
分析：通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)f（x）=x³-3x-m在（0，2）上的單調(diào)性并求出極值，從而得到函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值和最小值，要使函數(shù)f（x）=x³-3x-m在[0，2]上有零點(diǎn)，只需其最小值小于等于0，最大值大于等于0即可．
解答：由函數(shù)f（x）=x³-3x-m，
得：f^′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（1，2）上為增函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）=x³-3x-m在[0，2]上有極小值，也就是最小值，最小值是f（1）=-2-m，
f（x）在[0，2]內(nèi)的最大值是f（0）=-m和f（2）=2-m中的較大者，是f（2）=2-m，
要使得函數(shù)f（x）=x³-3x-m在[0，2]上有零點(diǎn)，
則：f（1）≤0且f（2）≥0
即，解得：-2≤m≤2．
所以，函數(shù)f（x）=x³-3x-m在[0，2]上有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-2，2]．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了函數(shù)的零點(diǎn)，解答此題的關(guān)鍵是把函數(shù)在閉區(qū)間上有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的符號(hào)問(wèn)題，此題是中檔題．