Question

如圖所示，已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段的垂直平分線與直線的交點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的軌跡曲線的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，寫出曲線在點(diǎn)處的切線的方程；（不要求證明）
（3）直線過切點(diǎn)與直線垂直，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線恒過一定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明見解析，定點(diǎn)為．

試題分析：（1）本題動(dòng)點(diǎn)依賴于圓上中，本來這種問題可以用動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法求軌跡方程，但本題用動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法會(huì)很繁，考慮到圓的半徑不變，垂直平分線的對(duì)稱性，我們可以看出
，是定值，而且，因此點(diǎn)軌跡是橢圓，這樣我們可以利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程寫出所求軌跡方程；（2）圓錐曲線的過其上點(diǎn)的切線方程，橢圓，切線為，
雙曲線，切線為，拋物線，切線為；（3）這題考查同學(xué)們的計(jì)算能力，現(xiàn)圓錐曲線切線有關(guān)的問題，由（2）我們知道切線斜率為，則直線的斜率為，又過點(diǎn)，可以寫出直線方程，然后求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出直線的方程，接著可從的方程觀察出是不是過定點(diǎn)，過哪個(gè)定點(diǎn)？這里一定要小心計(jì)算．
試題解析：（1）點(diǎn)是線段的垂直平分線,∴ 

∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（－1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓.
橢圓長軸長為焦距2c=2.  
∴曲線E的方程為　　   5′
（2）曲線在點(diǎn)處的切線的方程是.   8′
（3）直線的方程為，即 .
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為,
則，解得
直線PD的斜率為
從而直線PD的方程為：
即, 從而直線PD恒過定點(diǎn).   16′