Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2

2

，橢圓上的點(diǎn)P與兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成的三角形的最大面積為1，
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)Q為直線x+y-2=0上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作橢圓C的兩條切線QD、QE（切點(diǎn)分別為D、E），試證明動(dòng)直線DE恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

c a = 2 2 bc=1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)切點(diǎn)為D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則切線方程為x₁x+2y₁y=2，x₂x+2y₂y=2，由已知條件推導(dǎo)出D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），都在直線mx+2（2-m）y=2上，由此能證明動(dòng)直線DE恒過(guò)一定點(diǎn)（1，

1

2

）．

解答： （1）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2

2

，
橢圓上的點(diǎn)P與兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成的三角形的最大面積為1，
∴

c a = 2 2 bc=1 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=c=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）證明：設(shè)切點(diǎn)為D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
則切線方程為x₁x+2y₁y=2，x₂x+2y₂y=2，
∵兩條切線都過(guò)x+y-2=0上任意一點(diǎn)Q（m，2-m），
∴得到x₁m+2y₁（2-m）=2，x₂m+2y₂（2-m）=2，
∴D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），都在直線mx+2（2-m）y=2上，
而對(duì)任意的m，直線mx+2（2-m）y=2始終經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1，

1

2

）．
∴動(dòng)直線DE恒過(guò)一定點(diǎn)（1，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的切線方程的合理運(yùn)用．