Question

若對區(qū)間[a，b]上的任意x₁，x₂，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）≤f（x₂），我們稱f（x）在[a，b]上為不減函數(shù)．已知f（x）是定義在[0，1]上的不減函數(shù)，且滿足f（0）=0，f（1-x）=1-f（x），f（1-

1

3

x）=1-

1

2

f（x），則f（

7

8

）的值為（　　）

• A、1
• B、

  3

  4

• C、

  5

  6

• D、

  7

  8

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,探究型

分析：根據(jù)條件f（1-x）=1-f（x），f（1-

1

3

x）=1-

1

2

f（x），可得：f（1-

1

3

x）=1-f（

1

3

x）=1-

1

2

f（x），
即f（

1

3

x）=

1

2

f（x），賦值求解即可．

解答： 解：對區(qū)間[a，b]上的任意x₁，x₂，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）≤f（x₂），我們稱f（x）在[a，b]上為不減函數(shù)．
∵f（x）是定義在[0，1]上的不減函數(shù)，且滿足f（0）=0，f（1-x）=1-f（x），
∴f（1-

1

3

x）=1-f（

1

3

x）=1-

1

2

f（x），
即f（

1

3

x）=

1

2

f（x），
所以f（1-x）+f（x）=1與f（

1

3

x）=

1

2

f（x）同時(shí)成立，且x在[0，1]上，
∵f（0）=0，∴f（1）=1，
∴賦值可得：f（

1

2

）=

1

2

，f（

1

3

）=

1

2

f（1）=

1

2

，f（

3

8

）=

1

2

，f（

1

8

）=

1

2

×f（

3

8

）=

1

4

，
計(jì)算可得f（

7

8

）=1-

1

4

=

3

4

故選：B

點(diǎn)評：本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，賦值計(jì)算給定的函數(shù)值，注意觀察轉(zhuǎn)化．