Question

命題p：方程x²+y²-4x+2ay+2a²-2a+1=0表示圓，
命題q：?m∈[0，3]，?x∈R使不等式x²-2ax+7≥

2m+8

成立，
如果命題“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出命題p，q成立的等價條件，利用“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，確定實數(shù)a的取值范圍．

解答：命題p為必修2課本144頁8題：
解：命題p為真命題時：x²+y²-4x+2ay+2a²-2a+1=0經(jīng)配方得：（x-2）²+（y+a）²=-a²+2a+3r²=-a²+2a+3＞0，
解得-1＜a＜3．
命題p為假命題時a≤-1或a≥3．
命題q為真時：m∈[0，3]則

2m+8

∈[3，4]，
對于?m∈[0，3]，使不等式x2-2ax+7≥

2m+8

成立，
則?x∈R，x²-2ax+7≥3恒成立，
即x²-2ax+4≥0恒成立，
∴△=（2a）²-16≤0，
解得-2≤a≤2．
命題q為假時a＜-2或a＞2．
若“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，
則p，q一真一假，
當命題p為真，命題q為假時：

-1＜a＜3 a＜-2或a＞2

?2＜a＜3
當命題p為假，命題q為真時：

-2≤a≤2 a≤-1或a≥3

?-2≤a≤-1
綜上可知：a∈[-2，-1]∪（2，3）．

點評：本題主要考查復合命題與簡單命題之間的關系，利用條件先求出命題p，q的等價條件是解決本題的關鍵．