【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率e= ,左頂點(diǎn)為A(﹣4,0),過(guò)點(diǎn)A作斜率為k(k≠0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知P為AD的中點(diǎn),是否存在定點(diǎn)Q,對(duì)于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ,若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在說(shuō)明理由;
(3)若過(guò)O點(diǎn)作直線l的平行線交橢圓C于點(diǎn)M,求 的最小值.
【答案】
(1)解:∵橢圓C: =1(a>b>0)的離心率e= ,左頂點(diǎn)為A(﹣4,0),
∴a=4,又 ,∴c=2.…(2分)
又∵b2=a2﹣c2=12,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
(2)解:直線l的方程為y=k(x+4),
由 消元得, .
化簡(jiǎn)得,(x+4)[(4k2+3)x+16k2﹣12)]=0,
∴x1=﹣4, .…(6分)
當(dāng) 時(shí), ,
∴ .
∵點(diǎn)P為AD的中點(diǎn),∴P的坐標(biāo)為 ,
則 .…(8分)
直線l的方程為y=k(x+4),令x=0,得E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4k),
假設(shè)存在定點(diǎn)Q(m,n)(m≠0),使得OP⊥EQ,
則kOPkEQ=﹣1,即 恒成立,
∴(4m+12)k﹣3n=0恒成立,∴ ,即 ,
∴定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣3,0).
(3)解:∵OM∥l,∴OM的方程可設(shè)為y=kx,
由 ,得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ,
由OM∥l,得
=
= ,
當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)取等號(hào),
∴當(dāng) 時(shí), 的最小值為 .
【解析】(1)由橢圓的離心率和左頂點(diǎn),求出a,b,由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)直線l的方程為y=k(x+4),與橢圓聯(lián)立,得,(x+4)[(4k2+3)x+16k2﹣12)]=0,由此利用韋達(dá)定理、直線垂直,結(jié)合題意能求出結(jié)果.(3)OM的方程可設(shè)為y=kx,與橢圓聯(lián)立得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ,由OM∥l,能求出結(jié)果.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足:a1=1,an+1= ,(n∈N*),若bn+1=(n﹣λ)( +1),b1=﹣λ,且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),若存在使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)在橢圓: ()上,設(shè), , 分別為左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、下頂點(diǎn),且下頂點(diǎn)到直線的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn), ()為橢圓上兩點(diǎn),且滿足,求證: 的面積為定值,并求出該定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓M:x2+(y﹣4)2=4,點(diǎn)P是直線l:x﹣2y=0上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B.
(1)當(dāng)切線PA的長(zhǎng)度為 時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)若△PAM的外接圓為圓N,試問(wèn):當(dāng)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí),圓N是否過(guò)定點(diǎn)?若存在,求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
(3)求線段AB長(zhǎng)度的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn),且.
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,其左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),且, (為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使以為直徑的圓恒過(guò)該點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn , 等比數(shù)列{bn}的公比為q,已知b1=a1 , b2=2,q=d,S10=100.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式
(2)當(dāng)d>1時(shí),記cn= ,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量 , 滿足:| |=2,| |=4
(1)若( ) =﹣20,求向量 與 的夾角及|3 + |
(2)在矩形ABCD中,CD的中點(diǎn)為E,BC的中點(diǎn)為F,設(shè) = , = ,試用向量 , 表示 , ,并求 的值.
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