Question

已知等差數(shù)列{a_n} 中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，令b_n=a_n•a_n+1，數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：T_n＜

1

3

；
（3）是否存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和已知條件可得

a3=a1+2d=7 a1+a2+a3=3a1+3d=12

解出即可；
（2）利用（1）和“裂項(xiàng)求和”即可得出；
（3）利用等比數(shù)列的定義、分類討論和整數(shù)的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)即可得出．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由

a3=a1+2d=7 a1+a2+a3=3a1+3d=12

解得

a1=1 d=3

．∴a_n=1+（n-1）×3=3n-2．
（2）∵a_n=3n-2，a_n+1=3n+1，∴b_n=a_n•a_n+1=（3n-2）（3n+1），
∴

1

bn

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)．
∴Tn=

1

3

(1-

1

3n+1

)＜

1

3

．
（3）由（2）知，Tn=

n

3n+1

，∴T1=

1

4

，Tm=

m

3m+1

，
∵T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，∴(

m

3m+1

)2=

1

4

•

n

3n+1

，即

6m+1

m2

=

3n+4

n

．
當(dāng)m=2時(shí)，

13

4

=

3n+4

n

，n=16，符合題意；
當(dāng)m=3時(shí)，

19

9

=

3n+4

n

，n無(wú)正整數(shù)解；
當(dāng)m=4時(shí)，

25

16

=

3n+4

n

，n無(wú)正整數(shù)解；
當(dāng)m=5時(shí)，

31

25

=

3n+4

n

，n無(wú)正整數(shù)解；
當(dāng)m=6時(shí)，

37

36

=

3n+4

n

，n無(wú)正整數(shù)解；
當(dāng)m≥7時(shí)，m²-6m-1=（m-3）²-10＞0，則

6m+1

m2

＜1，而

3n+4

n

=3+

4

n

＞3，
所以，此時(shí)不存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列．
綜上，存在正整數(shù)m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、等比數(shù)列的定義、分類討論和整數(shù)的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．