Question

已知f（x）=x³+xsina，a∈（0，

π

2

），且f（kcosa）+f（1-k）≥0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，由奇偶性的定義，確定奇函數(shù)，f（kcosa）+f（1-k）≥0恒成立即為f（kcosα）≥-f（1-k）=f（k-1），即有kcosα≥k-1即k≤

1

1-cosα

在α∈（0，

π

2

）恒成立，運(yùn)用余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得到k的范圍．

解答： 解：f（x）=x³+xsina的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²+sinα，
由于α∈（0，

π

2

），則sinα∈（0，1），
則f′（x）＞0恒成立，即有f（x）在R上遞增，
又f（-x）=-x³-xsinα=-f（x），即f（x）為奇函數(shù)，
f（kcosa）+f（1-k）≥0恒成立即為f（kcosα）≥-f（1-k）=f（k-1），
即有kcosα≥k-1即k≤

1

1-cosα

在α∈（0，

π

2

）恒成立，
由于cosα∈（0，1），則1-cosα∈（0，1），

1

1-cosα

∈（1，+∞），
即有k≤1．
即k的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的范圍，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．