Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D，E分別為邊AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別為線段CD，BE的中點(diǎn)．將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使∠A1DC=60°．點(diǎn)Q為線段A1B上的一點(diǎn)，如圖2．
（Ⅰ）求證：A1F⊥BE；
（Ⅱ）線段A1B上是否存在點(diǎn)Q使得FQ∥平面A1DE？若存在，求出A1Q的長，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）當(dāng) 時(shí)，求直線GQ與平面A1DE所成角的大�。�

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：

∵A1D=DC，

∠A1DC=60°，

∴△A1DC為等邊三角形，又F為線段CD的中點(diǎn)，

∴A1F⊥DC，

由圖1可知ED⊥A1D，ED⊥DC，

∴ED⊥平面A1DC，又A1F平面A1DC，

∴ED⊥A1F，

又ED∩DC=D，DE平面BCDE，CD平面BCDE，

∴A1F⊥平面BCDE，又BE平面BCDE，

所以A1F⊥BE．

（Ⅱ）取A1B的中點(diǎn)Q，連接FG，F(xiàn)Q，GQ，

∵G，F(xiàn)，Q分別是BE，CD，A1B的中點(diǎn)，

∴FG∥DE，GQ∥A1E，

又FG平面GFQ，GQ平面GFQ，DE平面A1DE，A1E平面A1DE，

∴平面GFQ∥平面A1DE，又FQ平面GFQ，

∴FQ∥平面A1DE．

∴當(dāng)Q為A1B的中點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)Q∥平面A1DE．

連接BF，則BF= = ，

由（I）知△A1DC是邊長為2的等邊三角形，A1F⊥平面BCDE，

∴A1F= ，A1F⊥BF，

∴A1B= =2 ，

∴A1Q= = ．

（Ⅲ）以F為原點(diǎn)，以FC，F(xiàn)G，F(xiàn)A1為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則D（﹣1，0，0），E（﹣1，1，0），A1（0，0， ），B（1，2，0），G（0， ，0），

∴ =（1，2，﹣ ）， =（0，1，0）， =（1，0， ）， =（0，﹣ ， ），

∴ = =（ ， ，﹣ ），∴ = + =（ ，0， ），

設(shè)平面A1DE的法向量為 =（x，y，z），則 ，

∴ ，令z=1得 =（﹣ ，0，1），

∴cos＜ ＞= = =﹣ ，

設(shè)直線GQ與平面A1DE所成角為θ，則sinθ=|cos＜ ＞|= ，

∴直線GQ與平面A1DE所成角為30°．

【解析】（I）由DE⊥平面A1DC得出DE⊥A1F，再證出AF1⊥CD得出A1F⊥平面BCDE，從而得出A1F⊥BE；（II）取A1B的中點(diǎn)Q，連接FG，F(xiàn)Q，GQ，通過中位線證明平面GFQ∥平面A1DE，從而可得FQ∥平面A1DE；（III）以F為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，求出平面A1DE的法向量 和 的坐標(biāo)，則|cos＜ ＞|為所求角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能正確解答此題．