Question

如下圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2,|AC|=,一曲線E過C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng)，且保持|PA|+|PB|的值不變.

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)K是曲線E上的一動(dòng)點(diǎn)，求線段KA中點(diǎn)的軌跡方程;

(3)若F(1,)是曲線E上的一點(diǎn)，設(shè)M、N是曲線E上不同的兩點(diǎn)，直線FM和FN的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線MN的斜率是否為定值?如果是，求出這個(gè)定值;如果不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

解：(1)如圖，以AB所在的直線為x軸，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.

    設(shè)P(x,y),

∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|

=+=4為定值，

∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓，且a=2,c=1,b=.

∴橢圓E的方程為+=1.

(2)設(shè)橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)K(x₁,y₁),線段KA的中點(diǎn)為Q(x,y)、A(-1,0),

    則x=,y=，即x₁=2x+1,y₁=2y.

    因此=1,即(x+)²+=1.

(3)∵M(jìn)、N是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且直線FM、FN的傾斜角互補(bǔ)，則直線FM、FN的斜率存在且不為零.

    設(shè)直線FM的方程為y=k(x-1)+,

    由消去y,整理得

(4k²+3)x²-4k(2k-3)x+4k²-12k-3=0.                                          (*)

    設(shè)M(x_M,y_M)、N(x_N,y_N),又F(1,)是直線FM與橢圓的交點(diǎn),∴方程(*)的兩個(gè)根為1、x_M.

    由根與系數(shù)的關(guān)系得x_M=.                               ①

∵直線FM、FN的傾斜角互補(bǔ),∴直線FN的斜率為-k,以-k代替①中的k得

x_N=.                                                              ②

    又∵y_M=k(x_M-1)+,

y_N=-k(x_N-1)+,

∴y_M-y_N=k(x_M+x_N-2)=k(-2)=.而x_M-x_N=.

∴y_M-y_N=(x_M-x_N).

∴直線MN的斜率是定值，其定值為.