Question

設(shè)函數(shù)f（x）=px²+qx-

q

x

是奇函數(shù)，其中p，q是常數(shù)，且q≠0．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）若q＜0，求f（x-1）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求f（sinx+cosx）在x∈[0，

π

2

]上的最大值與最小值．（用q表示）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于函數(shù)在R上的奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)即可解出p值；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)f′（x），得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，又由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得到f（x-1）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)求區(qū)間上的最值，要先求函數(shù)的極值點(diǎn)，再與端點(diǎn)值比較大小即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）
即px²-qx+

q

x

=-（px²+qx-

q

x

） 
得2px²=0對(duì)任意x≠0恒成立 
∴p=0                                              
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=qx-

q

x

（q≠0）
∵f′(x)=q+

q

x2

                                  
∴當(dāng)q＜0時(shí)，f′（x）＜0，
∴當(dāng)q＜0時(shí)，f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)                
又∵t=x-1，當(dāng)x≠1時(shí)，t在（-∞，1），（1，+∞）上遞增            
∴當(dāng)q＜0時(shí)，f（x-1）單調(diào)遞減，減區(qū)間為（-∞，1），和（1，+∞）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：
當(dāng)q＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)
當(dāng)q＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)            
∵sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，

π

4

≤x+

π

4

≤

3π

4

         
∴sinx+cosx在x∈[0，

π

2

]上有1≤sinx+cosx≤

2

∴當(dāng)q＜0時(shí)，f（sinx+cosx）的最大值為f（1）=0，最小值為f(

2

)=

2

2

q
當(dāng)q＞0時(shí)，f（sinx+cosx）的最大值為f(

2

)=

2

2

q，最小值為f（1）=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性問題，解題時(shí)要熟練掌握函數(shù)奇偶性、單調(diào)性定義，能準(zhǔn)確利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．