Question

設(shè)函數(shù)f（x）=px-

p

x

-2lnx
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=

2e

x

，若存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=

px2-2x+p

x2

，令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需h（x）在（0，+∞）內(nèi)滿(mǎn)足h（x）≥0恒成立．進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)p=0時(shí)，f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)p＞0時(shí)，要使f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需h（x）在（0，+∞）內(nèi)滿(mǎn)足h（x）≥0恒成立，從而可求p的取值范圍；p＜0時(shí)，f（x）在（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)；
（Ⅱ）確定g(x)=

2e

x

在[1，e]上的最值，再分類(lèi)討論：（1）當(dāng)p≤0時(shí)，f（x）_min=f（1）=0，不合題意；（1）當(dāng)0＜p＜1時(shí)，不合題意；（3）當(dāng)p≥1時(shí)，只需f（x）_max＞g（x）_min（x∈[1，e]），從而可求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=

px2-2x+p

x2

令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需h（x）在（0，+∞）內(nèi)滿(mǎn)足h（x）≥0恒成立．
（1）當(dāng)p=0時(shí)，h（x）=-2x＜0，
∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞），內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，故p=0符合條件．…（3分）
（2）當(dāng)p＞0時(shí)，函數(shù)h（x）=px²-2x+p的對(duì)稱(chēng)軸為x=

1

p

∈(0，+∞)，∴h(x)min=p-

1

p

．
只需p-

1

p

≥0，∵p＞0，∴p≥1．…（5分）
（3）當(dāng)p＜0時(shí)，h（x）_max=h（0）=p．只需p≤0，此時(shí)f′（x）≤0．
∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，故p＜0符合條件．
綜上可得，p≥1或p≤0為所求．…（6分）
（Ⅱ）∵g(x)=

2e

x

在[1，e]上是減函數(shù)，
∴x=e時(shí)，g（x）_min=2；x=1時(shí)，g（x）_max=2e，即g（x）∈[2，2e]
（1）當(dāng)p≤0時(shí)，由（Ⅰ）知，f（x）在[1，e]上遞減，f（x）_max=f（1）=0＜2，不合題意．…（8分）
（2）當(dāng)0＜p＜1時(shí)，由x∈[1，e]，x-

1

x

≥0，
由（2）知當(dāng)p=1時(shí)，f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，f(x)=p(x-

1

x

)-2lnx≤x-

1

x

-2lnx≤e-

1

e

-2＜2，不合題意
．…（10分）
（3）當(dāng)p≥1時(shí)，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，f（1）=0＜2，
又g(x)=

2e

x

在[1，e]上是減函數(shù)，故只需f（x）_max＞g（x）_min（x∈[1，e]），
∵f（x）_max=f（e）=p（e-

1

e

）-2，g（x）_min=2，
∴p（e-

1

e

）-2＞2，
∴p＞

4e

e2-1

．
綜上，實(shí)數(shù)p的取值范圍是(

4e

e2-1

，+∞)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查存在性問(wèn)題，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)．