Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）具體見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后通過(guò)分類討論解不等式即可求解；

（2）可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值大于的最大值問(wèn)題進(jìn)行處理．

解：（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

則

①當(dāng)時(shí)，，令，解得．

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

②當(dāng)時(shí)，令，解得．

當(dāng)時(shí)，，則或時(shí)，，時(shí)，，

∴在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減．

當(dāng)時(shí)，，則或時(shí)，時(shí)，，

∴在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）對(duì)任意的，都有成立，

等價(jià)于時(shí)，．

由（1）得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

∴在上的最小值．

∵，

∴，

令，

則，

∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

則．

∴，

∴，

∴．

故的取值范圍為．