Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立．

Answer 1

【答案】（1）是的極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)（2）詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上的零點(diǎn)，列表分析函數(shù)單調(diào)性變化趨勢(shì)，確定極值（2）證明不等式，一般利用函數(shù)最值進(jìn)行證明，而構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)是解題的關(guān)鍵與難點(diǎn)，因?yàn)?/span>,

在上最多有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè),則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，而，，因此

試題解析：（1）由題意得，

當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)；

所以是的極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)

（2）證明：令，

則，

令，則因?yàn)?/span>，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上最多有一個(gè)零點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>，所以存在唯一的使得，

且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，

由得即，兩邊取對(duì)數(shù)得：，

所以，從而證得．