Question

已知圓O：x²+y²=4，過點M（1，）的兩條弦AC，BD互相垂直，則|AC|+|BD|的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：過O作ON⊥AC于N，作OP⊥BD于P，連結OM．矩形OPMN中，算出|OP|²+|ON|²=|OM|²=3，由此結合垂徑定理得到|AC|²+|BD|²=20，利用基本不等式即可證出當且僅當|AC|=|BD|=時，|AC|+|BD|的最大值為2．
解答：解：過O作ON⊥AC于N，作OP⊥BD于P，連結OM
則矩形OPMN中，|OM|²=|OP|²+|ON|²=1²+（）²=3
根據垂徑定理，得
|AC|²=（2AN）²=4（R²-|ON|²）=4（4-|ON|²）
|BD|²=（2BP）²=4（R²-|OP|²）=4（4-|OP|²）
∴|AC|²+|BD|²=4[8-（|OP|²+|ON|²）]=32-4×3=20
因此，結合基本不等式得（|AC|+|BD|）²≤2（|AC|²+|BD|²）=40
當且僅當|AC|=|BD|=時，|AC|+|BD|的最大值為2
故答案為：2
點評：本題給出圓內經過定點的互相垂直的兩條直線，求它們長度和的最大值．著重考查了垂徑定理、直線與圓的位置關系和運用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．