Question

已知圓O：x²+y²=2交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為

2

2

的橢圓，其左焦點為F．若P是圓O上一點，連接PF，過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的左準線于點Q．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若點P的坐標為（1，1），求證：直線PQ與圓O相切；
（3）試探究：當點P在圓O上運動時（不與A、B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關系？若是，請證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為a=

2

，e=

2

2

，所以c=1，由此能得到橢圓C的標準方程．
（2）因為P（1，1），所以kPF=

1

2

，所以k_OQ=-2，所以直線OQ的方程為y=-2x．再由橢圓的左準線方程為x=-2，能夠證明直線PQ與圓O相切．
（3）當點P在圓O上運動時，直線PQ與圓O保持相切．設P（x₀，y₀）（x0≠±

2

），則y₀²=2-x₀²，
所以kPF=

y0

x0+1

，kOQ=-

x0+1

y0

，所以直線OQ的方程為y=-

x0+1

y0

x，由此知直線PQ始終與圓O相切．

解答：解：（1）因為a=

2

，e=

2

2

，所以c=1（2分）
則b=1，即橢圓C的標準方程為

x2

2

+y2=1（4分）
（2）因為P（1，1），所以kPF=

1

2

，
所以k_OQ=-2，所以直線OQ的方程為y=-2x（6分）
又橢圓的左準線方程為x=-2，所以點Q（-2，4）（7分）
所以k_PQ=-1，又k_OP=1，所以k_OP⊥k_PQ=-1，即OP⊥PQ，
故直線PQ與圓O相切（9分）
（3）當點P在圓O上運動時，直線PQ與圓O保持相切（10分）
證明：設P（x₀，y₀）（x0≠±

2

），則y₀²=2-x₀²，
所以kPF=

y0

x0+1

，kOQ=-

x0+1

y0

，
所以直線OQ的方程為y=-

x0+1

y0

x（12分）
所以點Q（-2，

2x0+2

y0

）（13分）
所以kPQ=

y0- 2x0+2 y0

x0+2

=

y02-(2x0+2)

(x0+2)y0

=

-x02-2x0

(x0+2)y0

=-

x0

y0

，
又kOP=

y0

x0

，
所以k_OP⊥k_PQ=-1，即OP⊥PQ，故直線PQ始終與圓O相切（15分）

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，注意公式的合理運用．