Question

如圖，平面PAC⊥平面ABC，點(diǎn)E、F、O分別為線段PA、PB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段CO的中點(diǎn)，AB=BC=AC=4，PA=PC=2

2

．
求證：（1）PA⊥平面EBO；
（2）FG∥平面EBO．

Answer 1

（1）證明：由題意可知，△PAC為等腰直角三角形，△ABC為等邊三角形． 因?yàn)镺為邊AC的中點(diǎn)，所以BO⊥AC，
因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BO?平面ABC，所以，BO⊥面PAC．
因?yàn)镻A?平面PAC，故 BO⊥PA．在等腰三角形PAC內(nèi)，O，E為所在邊的中點(diǎn)，故 OE∥PC，∴OE⊥PA，
又BO∩OE=O，所以，PA⊥平面EBO．
（2）證明：連AF交BE于Q，連QO．因?yàn)镋、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點(diǎn)，
所以

AO

OG

=2． 又 Q是△PAB的重心，


于是，

AQ

QF

=2=

AO

OG

，所以，F(xiàn)G∥QO．
因?yàn)镕G?平面EBO，QO?平面EBO，所以，F(xiàn)G∥平面EBO．