已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為它的左、右焦點(diǎn)，直線x=4為它的一條準(zhǔn)線，又知橢圓C上存在點(diǎn)M使

   （1）求橢圓C的方程；

   （2）若PQ為過(guò)橢圓焦點(diǎn)F2的弦，且內(nèi)切圓面積最大時(shí)實(shí)數(shù)的值.

解：（1）據(jù)題意，設(shè)橢圓C的方程為 ，

∵直線x=4    為橢圓C的準(zhǔn)線，  ∴

又，  ∴M為橢圓C短軸上的頂點(diǎn)，

∵，

∴，△F1MF2為等邊三角形

∴

且，∴橢圓C的方程為

（2）顯然直線PQ不與x軸重合，當(dāng)PQ與x軸垂直，即直線PQ分斜率不存在時(shí)，

∴

當(dāng)直線PQ斜率存在時(shí)，設(shè)它的斜率為k，

則直線PQ的方程為，代入橢圓C的方程，消去x的并整理得：

    則

∴

設(shè)4k2+3=t，則t>3，此時(shí)

∵

綜上，直線PQ與x軸垂直時(shí)，△PF1Q的面積最大，且最大面積為3.

設(shè)△PF1Q內(nèi)切圓半徑為r，則

∴時(shí)，△PF1Q內(nèi)切圓面積最大，此時(shí)不存在，

直線PQ與x軸垂直，∴

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，離心率e=
2
2
該橢圓C與直線l：y=
2
x在第一象限交于F點(diǎn)，且直線l被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為2
3
，過(guò)F作傾斜角互補(bǔ)的兩直線FM，F(xiàn)N分別與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)（F與M，N均不重合）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：直線MN的斜率為定值；
（Ⅲ）求三角形FMN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)為（0，1），短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，若直線l與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且
AP
=3
PB
．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率及其標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為
2
2
，直線?與橢圓C相切于M點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的左右焦點(diǎn)，且|MF1|+|MF2|=2
2
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線m過(guò)F1點(diǎn)，且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，|AF2|+|BF2|=
8
2
3
，求直線m的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)為（0，2），短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，直線l與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B，且
AP
=2
PB
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（09年長(zhǎng)沙一中一模理）（13分）已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F1，F2在x軸上，離心率為，點(diǎn)Q在橢圓C上且滿足條件：= 2， 2．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

     （Ⅱ）設(shè)A、B為橢圓上不同的兩點(diǎn)，且滿足OA⊥OB，若(∈R)且，試問(wèn)：是否為定值．若為定值，請(qǐng)求出；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由。

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