已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點，焦點在y軸上，離心率e=
2
2
該橢圓C與直線l：y=
2
x在第一象限交于F點，且直線l被橢圓C截得的弦長為2
3
，過F作傾斜角互補的兩直線FM，F(xiàn)N分別與橢圓C交于M，N兩點（F與M，N均不重合）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：直線MN的斜率為定值；
（Ⅲ）求三角形FMN面積的最大值． 
      分析：（Ⅰ）由題設(shè)知：e=
      c
      a
      =
      		2
      2
      ，c=
      		2
      2
      a      ，由此能求出橢圓C的方程．
      （Ⅱ）由F（1，
      		2
      ），設(shè)kFM=k（k＞0），由直線FM與FN的傾斜角互補，知kFN=-k，直線FM：y=k（x1）+
      		2
      ，直線FN：y=-k（x-1）+
      		2
      ．由
      y=k(x-1)+
      		2
      x2
      2
      +
      y2
      4
      =1
      ，得(2+k2)x2+(2
      		2
      k-2k2)x+k2-2
      		2
      k-2=0      ，由F(1，
      		2
      )      是FM與橢圓的交點，知1為（*）的一個根，另一個根為xM，xM•1=
      k2-2
      		2
      k-2
      2+k2
      ，yM=k（xM-1）+
      		2
      =
      -
      		2
      k2-4k+2
      		2
      k2+2
      ，M（
      k2+2
      		2
      k-2
      2+k2
      ，
      -
      		2
      k2+4k+2
      		2
      k2+2
      ），同理N（
      k2+2
      		2
      k-2
      2+k2
      ，
      -
      		2
      k2+4k+2
      		2
      k2+2
      ），由此能求出直線MN的斜率為定值
      		2
      ．
      （Ⅲ）設(shè)MN與y軸交點為（0，b），M（x1，y1），N（x2，y2），又kMN=
      		2
      ，MN的方程為y=
      		2
      x+b      ．由
      y=
      		2
      x+b
      x2
      2
      +
      y2
      4
      =1
      ，得4x2+2
      		2
      bx+b2-4=0      ．由△=(2
      		2
      b)      2      -4×4(b2-4)＞0      ，得b2＜8，再由韋達定理和兩點間距離公式進行求解．
      解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知：e=
      c
      a
      =
      		2
      2
      ，∴c=
      		2
      2
      a      ，
      ∵c2=a2-b2，∴
      1
      2
      a2=a2-b2      ，
      即a2=2b2，
      設(shè)所求的橢圓C的方程為
      x2
      b2
      +
      y2
      2b2
      =1      ．
      由
      y=
      		2
      x
      x2
      b2
      +
      y2
      2b2
      =1
      ，得x2=
      b2
      2
      ，∴x=±
      		2
      b
      2
      ，∴y=±b．
      ∴兩交點分別為（
      		2
      b
      2
      ，b      ），(-
      		2
      b
      2
      ，-b)      ，
      ∴
      		(-
      		2
      b
      2
      -
      		2
      b
      2
      )      2      +(-b-b)2
      =2
      		3
      ，
      ∴b2=2，a2=4．
      ∴所求的橢圓C的方程為
      x2
      2
      +
      y2
      4
      =1      ．
      （Ⅱ）由（1）知F（1，
      		2
      ），
      設(shè)kFM=k（k＞0），
      ∵直線FM與FN的傾斜角互補，
      ∴kFN=-k，
      ∴直線FM：y=k(x1)+
      		2
      ，直線FN：y=-k(x-1)+
      		2
      ．
      由
      y=k(x-1)+
      		2
      x2
      2
      +
      y2
      4
      =1
      ，得(2+k2)x2+(2
      		2
      k-2k2)x+k2-2
      		2
      k-2=0      （*），
      ∵F(1，
      		2
      )      是FM與橢圓的交點，
      ∴1為（*）的一個根，另一個根為xM，
      ∴xM•1=
      k2-2
      		2
      k-2
      2+k2
      ，
      ∴yM=k(xM-1)+
      		2

      =
      -
      		2
      k2-4k+2
      		2
      k2+2
      ，
      ∴M(
      k2+2
      		2
      k-2
      2+k2
      ，
      -
      		2
      k2+4k+2
      		2
      k2+2
      )      ，
      同理N(
      k2+2
      		2
      k-2
      2+k2
      ，
      -
      		2
      k2+4k+2
      		2
      k2+2
      )      ，
      ∴kMN=
      yM-yN
      xM-xN
      =
      8k
      4
      		2
      k
      =
      		2
      ．
      （Ⅲ）設(shè)MN與y軸交點為（0，b），M（x1，y1），N（x2，y2），
      又kMN=
      		2
      ，
      ∴MN的方程為y=
      		2
      x+b      ．
      由
      y=
      		2
      x+b
      x2
      2
      +
      y2
      4
      =1
      ，得4x2+2
      		2
      bx+b2-4=0      ．
      由△=(2
      		2
      b)      2      -4×4(b2-4)＞0      ，得b2＜8，
      ∵x1+x2=-
      		2
      2
      b      ，x1•x2=
      b2-4
      4
      ，
      ∴|MN|=
      		1+k2
      •
      		(x1+x2) 2-4x1x2

      =
      		1+2
      •
      b2
      2
      -(b2-4)

      =
      		3
      •
      		4-
      b2
      2
      ．
      ∵kOF=kMN=
      		2
      ，
      ∴OF∥MN，
      ∴F到MN的距離即為O到MN的距離b=
      |b|
      		3
      				
							
			
      
			
      
			
			
      
		
	

		

		





			
		
		
				
      
				練習(xí)冊系列答案
		
      
		
				
			

					
      
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
      

						
      已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點O，一個長軸端點為（0，1），短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，若直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于不同的兩點A、B，且
      AP
      =3
      PB
      ．
      （Ⅰ）求橢圓C的離心率及其標(biāo)準(zhǔn)方程；
      （Ⅱ）求實數(shù)m的取值范圍．
      

			
      

			
      
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
      

						
      已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點，離心率為
      		2
      2
      ，直線?與橢圓C相切于M點，F(xiàn)1、F2為橢圓的左右焦點，且|MF1|+|MF2|=2
      		2
      ．
      （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
      （2）若直線m過F1點，且與橢圓相交于A、B兩點，|AF2|+|BF2|=
      8
      		2
      3
      ，求直線m的方程．
      

			
      

			
      
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
      

						
      已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點O，一個長軸端點為（0，2），短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且
      AP
      =2
      PB
      ．
      （Ⅰ）求橢圓方程；
      （Ⅱ）求m的取值范圍．
      

			
      

			
      
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
      

						
      （09年長沙一中一模理）（13分）已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點O，焦點F1，F2在x軸上，離心率為，點Q在橢圓C上且滿足條件：= 2， 2．
      （Ⅰ）求橢圓C的方程；
           （Ⅱ）設(shè)A、B為橢圓上不同的兩點，且滿足OA⊥OB，若(∈R)且，試問：是否為定值．若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由。
      

			
      

			
      
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      同步練習(xí)冊答案