Question

已知函數(shù)f（x）=log_a在定義域D上是奇函數(shù)，（其中a＞0且a≠1）．
（1）求出m的值，并求出定義域D；
（2）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明；
（3）當(dāng)x∈（r，a-2）時，f（x）的值的范圍恰為（1，+∞），求a及r的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，可得出f（-x）=-f（x），由此方程恒成立，可得出參數(shù)m的方程，解出參數(shù)的值，再由對數(shù)的真數(shù)大于0得出x的不等式，解出函數(shù)的定義域即可；
（2）由于本題中參數(shù)a的取值范圍未定，故應(yīng)對它的取值范圍分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性再進行證明；
（3）由題設(shè)x∈（r，a-2）時，f（x）的值的范圍恰為（1，+∞），可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定出兩個參數(shù)a及r的方程，解方程得出兩個參數(shù)的值．
解答：解：（1）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），
所以log_a=log_a，…（2分）
即1-m²x²=1-x²對一切x∈D都成立，…（3分）
所以m²=1，m=±1，…（4分）
由于＞0，所以m=-1…（5分）
所以f（x）=log_a，D=（-∞，-1）∪（1，+∞）…（6分）
（2）當(dāng)a＞1時，f（x）=log_a，任取x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，…（7分）
則f（x₁）-f（x₂）=log_a-log_a=log_a（+1）-log_a（+1）…（9分）
由于x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，所以+1＞+1，得f（x₁）＞f（x₂），…（10分）
【注】只要寫出x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=…=…，得出f（x₁）＞f（x₂）即可．
即f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減…（11分）
同理可得，當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增 …（13分）
（3）因為x∈（r，a-2），定義域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°當(dāng)r≥1時，則1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）
所以f（x）在（r，a-2）上為減函數(shù)，值域恰為（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分）
即log_a=log_a=1，即=a，…（16分）
所以a=2+且r=1 …（18分）
2°當(dāng)r＜1時，則（r，a-2）?（-∞，-1），所以0＜a＜1
因為f（x）在（r，a-2）上為增函數(shù)，
所以f（r）=1，a-2=-1，
解得a=1與a＞0且a≠1矛盾（舍） …（20分）
點評：本題考察對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合運用，解答本題關(guān)鍵是熟練掌握對數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的證明方法，單調(diào)性的運用等結(jié)論，本題中第三小問是難點，第二問證明較繁瑣，是本題的重點．本題考察了打理證明的能力，等價轉(zhuǎn)化的能力以及轉(zhuǎn)化的思想