Question

已知函數(shù)。

（Ⅰ）設(shè)，討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若對(duì)任意恒有，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（I） 所以在各區(qū)間內(nèi)的增減性如下表：

區(qū)間	（，）	（，t）	（t，1）	（1，+）
的符號(hào)	+		+	+
的單調(diào)性	增函數(shù)	減函數(shù)	增函數(shù)	增函數(shù)

（II）a的取值范圍為（，2）

【解析】

試題分析：（I） 的定義域?yàn)椋?sub>，1）（1，）

 

因?yàn)?sub>（其中）恒成立，所以

⑴ 當(dāng)時(shí)，在（，0）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上為增函數(shù)；

⑵ 當(dāng)時(shí)，在（，0）（0，1）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上為增函數(shù)；

⑶ 當(dāng)時(shí)，的解為：（，）（t，1）（1，+）

（其中）

所以在各區(qū)間內(nèi)的增減性如下表：

區(qū)間	（，）	（，t）	（t，1）	（1，+）
的符號(hào)	+		+	+
的單調(diào)性	增函數(shù)	減函數(shù)	增函數(shù)	增函數(shù)

 

（II）顯然

⑴ 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間0，1上是增函數(shù)，所以對(duì)任意（0，1）都有；

⑵ 當(dāng)時(shí)，是在區(qū)間 0，1上的最小值，即，這與題目要求矛盾；

⑶ 若，在區(qū)間0，1上是增函數(shù)，所以對(duì)任意（0，1）都有。

綜合⑴、⑵、⑶ ，a的取值范圍為（，2）

考點(diǎn)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，函數(shù)的恒成立問(wèn)題。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高考必考內(nèi)容，思路往往比較明確根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性。對(duì)于恒成立問(wèn)題，往往通過(guò)“分離參數(shù)法”，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題。