Question

在邊長為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，M、N分別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合于B，構(gòu)成一個(gè)三棱錐(如圖所示)．

（Ⅰ）在三棱錐上標(biāo)注出、點(diǎn)，并判別MN與平面AEF的位置關(guān)系，并給出證明；

（Ⅱ）是線段上一點(diǎn)，且,問是否存在點(diǎn)使得,若存在，求出的值;若不存在，請(qǐng)說明理由；

（Ⅲ）求多面體E-AFNM的體積．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）參考解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）通過翻折可知B點(diǎn)和C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置.所以可以相應(yīng)地找到M,N點(diǎn)的位置.然后說明直線與平面AEF平行.

（Ⅱ）根據(jù)題意證得直線AB平面AEF.所以只需要?jiǎng)狱c(diǎn)G與點(diǎn)B重合即可得到AB平面EGF.所以可得.本小題雖然是動(dòng)點(diǎn)的問題但是通過證明線面垂直后再把動(dòng)點(diǎn)移到特殊的位置即可.

（Ⅲ）由于AB垂直于平面BEF，所以易計(jì)算三棱錐A-BEF的體積.同時(shí)四棱錐E-AFNM的體積與三棱錐E-BMN的體積比等于它們底面積的比.體積比轉(zhuǎn)化為面積比的問題.從而可求出四棱錐E-AFMN的體積.本小題的體積求法有點(diǎn)技巧，要學(xué)會(huì)相互轉(zhuǎn)化.

試題解析：（Ⅰ）因翻折后B、C、D重合，所以MN應(yīng)是的一條中位線，如圖所示.

則                             2分

證明如下：． 4分

（Ⅱ）存在點(diǎn)使得，此時(shí)

因?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040804294492359720/SYS201404080430156266994113_DA.files/image010.png">面EBF

又是線段上一點(diǎn)，且,

∴ 當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)               8分

（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040804294492359720/SYS201404080430156266994113_DA.files/image013.png">

且，

∴，                    9分

又

           12分

考點(diǎn)：1.圖形的翻折.2.線面平行.3.線面垂直.4.四棱錐的體積.