【題目】已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.

1)求函數(shù)的解析式;

2)若函數(shù)有兩個不同零點,求實數(shù)的取值范圍;

3)若函數(shù)上是單調(diào)減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.

【答案】1;(2;(3.

【解析】

1)由題意可得出,進而可求得函數(shù)的解析式;

2)令,得,則問題等價于直線與函數(shù)的圖象有兩個交點,作出函數(shù)與直線的圖象,利用數(shù)形結(jié)合思想可求得實數(shù)的取值范圍;

3)任取,可得出,進而得出,求出的取值范圍,由此可解得實數(shù)的取值范圍.

1)在函數(shù)的圖象上任取一點,

則該點關(guān)于點的對稱點在函數(shù)的圖象上,

所以,;

2)令,得,

則問題等價于直線與函數(shù)的圖象有兩個交點,

,

由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,

作出函數(shù)與直線的圖象如下圖所示:

由圖象可知,當(dāng)時,直線與函數(shù)的圖象有兩個交點,

因此,實數(shù)的取值范圍是;

3)由(1)知,

任取、,即,

,

,則,,

所以,

,,則,,即,

,解得.

因此,實數(shù)的取值范圍是.

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