Question

如圖直三棱柱中，AB⊥AC，AB=AC，D、E分別為AA₁、B₁C的中點，
（Ⅰ）證明：DE⊥平面BCC₁
（Ⅱ）設B₁C與平面BCD所成角的大小為30°，求二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件得DAFE是平行四邊形，從而AF∥DE．由已知條件能證明AF⊥平面BCC₁．由此能證明DE⊥平面BCC₁．
（Ⅱ）以AB，AC，AD所在直線為x、v、z軸建立空間直角坐標系，由此利用向量法能求出二面角A-BD-C的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：取BC中點F，連接AF，EF，則AD

∥

.

1

2

BB1．EF

∥

.

1

2

BB1．
∴AD

∥

.

EF，∴DAFE是平行四邊形，
∴AF∥DE．
∵直三棱柱中，CC₁⊥平面ABC，AF?平面ABC，
∴AF⊥CC₁，
∵AB=AC，F(xiàn)是BC中點，∴AF⊥BC，
∵BC∩CC₁=C，∴AF⊥平面BCC₁．
∴DE⊥平面BCC₁．（4分）
（Ⅱ）解：以AB，AC，AD所在直線
為x、v、z軸建立空間直角坐標系，
設AB=1，AD=a，B（1，0，0）、
C（0，1，0）、D（0，0，a）、
B₁（1，0，2a）．
∴

BC

=（-1，1，0），

BD

=（-1，0，a），
設平面BCD的一個法向量

n

=（x，y，z），
則由

n

⊥

BC

，

n

⊥

BD

，得

y-x=0 az-x=0

，
令z=1得

n

=（a，a，1）．

CB1

=（1，-1，2a），
∴sin30°=|cos＜

n

，

CB1

＞|．得a=

2

2

，
∴

n

=(

2

2

，

2

2

，1)，平面ABD法向量為

AC

=（0，1，0），
cos＜

n

，

AC

＞=

1

2

，
∴所求二面角的大小為60°．（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．