Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

2

2

，短軸長為4，
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓左焦點F₁的直線l交橢圓于A，B兩點，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過該橢圓的右焦點F₂，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由于離心率為

2

2

，短軸長為4，可得

c

a

=

2

2

，2b=4，
a²=b²+c²．聯(lián)立解得即可．
（2）當(dāng)l與x軸重合時，不符合題意．設(shè)直線l的方程為x+2=my，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系．由于以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過該橢圓的右焦點F₂，可得F₂A⊥F₂B，

F2A

•

F2B

=0，解出即可．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵離心率為

2

2

，短軸長為4，∴

c

a

=

2

2

，2b=4，a²=b²+c²．
解得a²=8，b²=4，c=2．∴橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）當(dāng)l與x軸重合時，不符合題意．
設(shè)直線l的方程為x+2=my，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

x+2=my x2+2y2=8

，化為（2+m²）y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=

4m

2+m2

，y₁y₂=

-4

2+m2

∵以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過該橢圓的右焦點F₂，
∴F₂A⊥F₂B，
∴

F2A

•

F2B

=（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=（my₁-2）（my₂-2）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂-2m（y₁+y₂）+4=0，
∴

-4(m2+1)

2+m2

+

-8m2

2+m2

+4=0，
化為m2=

1

2

．
解得m=±

2

2

．
∴直線l的方程為：x+2=±

2

2

y，即

2

x±y+2

2

=0．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．