Question

17．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}+b}{{2}^{x}+1}$是奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）解不等式f（2x+1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）利用（0）=0，解得b，可求函數(shù)f（x）的解析式，f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，由y=2^x的單調(diào)性可推知函數(shù)的單調(diào)性；
（2）不等式f（2x+1）+f（x）＜0，轉(zhuǎn)化為f（2x+1）＜f（-x），利用單調(diào)性，可得結(jié)論．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）是R上的奇函數(shù)，
所以f（0）=0，解得b=-1，
從而有f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．
因?yàn)閒（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
所以由y=2^x的單調(diào)性可推知f（x）在R上為增函數(shù)．
（2）因?yàn)閒（x）在R上是奇函數(shù)，
從而不等式f（2x+1）+f（x）＜0可化為f（2x+1）＜-f（x），
即f（2x+1）＜f（-x），
又因f（x）是R上的增函數(shù)，
由上式推得1+2x＜-x，解得x$＜-\frac{1}{3}$．
所以不等式的解集為（-$∞，-\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查學(xué)生解不等式的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．