Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F，右頂點、上頂點分別為點A、B，且|AB|=

5

2

|BF|．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若點M（-

16

17

，

2

17

）在橢圓C內(nèi)部，過點M的直線l交橢圓C于P、Q兩點，M為線段PQ的中點，且OP⊥OQ．求直線l的方程及橢圓C的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得

a2+b2

=

5

2

a，由此能求出e=

c

a

=

3

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a²=4b²，設(shè)橢圓C：

x2

4b2

+

y2

b2

=1．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x 2 1

4b2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

4b2

+

y 2 2

b2

=1，得

- 32 17 (x1-x2)

4

+

4

17

(y1-y2)=0，直線l的方程為2x-y+2=0．由

2x-y+2=0 x2 4b2 + y2 b2 =1

⇒x2+4(2x+2)2-4b2=0，由此能求出橢圓C的方程．

解答： （本題滿分13分）
解：（Ⅰ）由已知|AB|=

5

2

|BF|，
即

a2+b2

=

5

2

a，
4a²+4b²=5a²，4a²+4（a²-c²）=5a²，
∴e=

c

a

=

3

2

．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a²=4b²，
∴橢圓C：

x2

4b2

+

y2

b2

=1．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x 2 1

4b2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

4b2

+

y 2 2

b2

=1，得

x 2 1 - x 2 2

4b2

+

y 2 1 - y 2 2

b2

=0，
即

(x1+x2)(x1-x2)

4b2

+

(y1+y2)(y1-y2)

b2

=0，
即

- 32 17 (x1-x2)

4

+

4

17

(y1-y2)=0，
從而kPQ=

y1-y2

x1-x2

=2，
進而直線l的方程為y-

2

17

=2[x-(-

16

17

)]，
即2x-y+2=0．…（9分）
由

2x-y+2=0 x2 4b2 + y2 b2 =1

⇒x2+4(2x+2)2-4b2=0，
即17x²+32x+16-4b²=0．
△=322+16×17(b2-4)＞0?b＞

2 17

17

.x1+x2=-

32

17

，x1x2=

16-4b2

17

．
∵OP⊥OQ，∴

OP

•

OQ

=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂+（2x₁+2）（2x₂+2）=0，5x₁x₂+4（x₁+x₂）+4=0．
從而

5(16-4b2)

17

-

128

17

+4=0，解得b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．…（13分）

點評：本題考查橢圓的離心率的求法，考查直線方程和橢圓方程的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．