Question

已知圓O：x²+y²=1和定點(diǎn)A（2，1），由圓O外一點(diǎn)P（a，b）向圓O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，|PQ|=|PA|成立，如圖
（1）求a、b間關(guān)系；
（2）求|PQ|的最小值；
（3）以P為圓心作圓，使它與圓O有公共點(diǎn)，試在其中求出半徑最小的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△OQP為直角三角形，且|PQ|=|PA|，利用勾股定理可得a、b間關(guān)系．
（2）根據(jù)P在直線l：2x+y-3=0上，所以|PQ|_min=|PA|_min，為A到直線l的距離，由此求得|PQ|_min的值．
（3）半徑最小時(shí)為與圓O外切的情形，而這些半徑的最小值為圓O到直線l的距離減去圓O的半徑，圓心P為過原點(diǎn)與l垂直的直線l′與l的交點(diǎn)P₀，求得半徑r和P₀的坐標(biāo)，可得圓的方程．

解答：解：（1）連接OQ、OP，則△OQP為直角三角形，又|PQ|=|PA|，
所以|OP|²=|OQ|²+|PQ|²=1+|PA|²，所以a²+b²=1+（a-2）²+（b-1）²，故2a+b-3=0．
（2）由（1）知，P在直線l：2x+y-3=0上，所以|PQ|_min=|PA|_min，為A到直線l的距離，
所以|PQ|_min=

|2×2+1-3|

22+12

=

2 5

5

．
（3）以P為圓心的圓與圓O有公共點(diǎn)，半徑最小時(shí)為與圓O外切的情形，
而這些半徑的最小值為圓O到直線l的距離減去圓O的半徑，
圓心P為過原點(diǎn)與l垂直的直線l′與l的交點(diǎn)P₀，所以r=

3

22+12

-1=

3 5

5

-1，
又l′：x-2y=0，與l：2x+y-3=0聯(lián)立得P₀（

6

5

，

3

5

）．
所以，所求圓的方程為（x-

6

5

）²+（y-

3

5

）²=（

3 5

5

-1）²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．