Question

以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學(xué)在期末考試的數(shù)學(xué)成績，乙組記錄中有一個數(shù)字模糊，無法確認(rèn)．假設(shè)這個數(shù)字具有隨機(jī)性，并在圖中以a表示．
（1）若甲、乙兩個小組的數(shù)學(xué)平均成績相同，求a的值；
（2）求乙組平均成績超過甲組平均成績的概率；
（3）當(dāng)a=2時，分別從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，設(shè)這兩名同學(xué)成績之差的絕對值為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望，

Answer 1

（1）1；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：(1)根據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式,直接由甲、乙兩個小組的數(shù)學(xué)平均成績相等列式求解的值；
（2）分值從共種情況，由（1）中求得的結(jié)果可得，當(dāng)時，乙組平均成績超過甲組平均成績，然后由古典概率模型概率計(jì)算公式求概率；
(3)用枚舉法列出所有可能的成績結(jié)果，查出兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值為的情況數(shù)，然后由古典概率模型概率計(jì)算公式求概率，然后列分布列，根據(jù)公式,此題屬于基礎(chǔ)題型,關(guān)鍵是讀懂題，就能拿滿分.
試題解析：（1）依題意，得： 
解得 ．                        3分
（2）解：設(shè)“乙組平均成績超過甲組平均成績”為事件，
依題意 ，共有種可能．
由（1）可知，當(dāng)時甲、乙兩個小組的數(shù)學(xué)平均成績相同，
所以當(dāng)時，乙組平均成績超過甲組平均成績，共有種可能．
因此乙組平均成績超過甲組平均成績的概率．    7分
（3）解：當(dāng)時，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的成績結(jié)果有種， 它們是：
,,,,,,,，
則這兩名同學(xué)成績之差的絕對值的所有取值為
因此，，，，．          10分

	0	1	2	3	4

所以隨機(jī)變量的分布列為：
 
所以的數(shù)學(xué)期望
．   12分